Bron theorie

Thermisch profiel van een bron.

 

Vaak wordt gevraagd hoe de temperatuur zich verdeelt in de buurt van een bron. Als de bron heel lang (oneindig) en continu in gebruik is, is het niet zo heel moeilijk om dat te berekenen. In dat geval is de gradiënt een statische situatie. Heel anders is het als het gebruik van de bron steeds varieert. Bijvoorbeeld dat er in de zomer warmte in gaat vanwege koeling van het huis of dat de warmtepomp af en toe aan gaat voor de verwarming van het huis of de boiler.

 

De lineaire situatie.

Als we het eerst lineair beschouwen en we nemen voor de beeldvorming een staaf grond met een doorsnede (symbool A) van 1 m2 en een oneindige lengte (symbool l). We laten daar 1 W (symbool P) door lopen, dan is het eenvoudig uit te leggen dat er per lengte, bijvoorbeeld 1 m een gradiënt (temperatuursprong) ontstaat. Het zal ook duidelijk zijn dat de temperatuursprong omgekeerd evenredig is met de warmtegeleiding. Als we met het elektrisch analogon vergelijken hebben we een stroombron met heel veel weerstanden in serie. De warmtegeleiding (symbool Ƴ) van de grond kan behoorlijk varieren van 0,15 tot 2 W/ m.K. voor droog zand 0,15 – 0,25 en voor nat zand 0,25 – 2 W/ m.K Voor droge klei is dat 1,2 en voor natte klei  – 1,8 W/ m.K. In de volgende berekeningen ga ik uit van een warmtegeleiding van 1,5 W/ m.K (natte zand/kleigrond)

In het voorbeeld komen we dan uit op dT = P x l/ (Ƴ x A) = 1 W x 1 m/ (1,5 W/ m.K  x 1 m2 ) = 0,67 K

 

De radiale situatie:

Als we een bron hebben, dan is er geen sprake van een lineaire situatie maar radiaal. We hebben immers in de grond een verticale paal, ook wel mortelpaal genoemd, waar warmte in of uit gaat in radiale richting. Nu kunnen we een staaf van 1 m2 met een lengte van een meter niet meer gebruiken om berekeningen op los te laten. De vorm is immers niet meer rechthoekig. We moeten het verkleinen tot de afwijking verwaarloosbaar is, en dan is een lengte van 1 cm een praktische waarde. De doorsnede van de “grondstaaf” maken we dan 1 m hoog en 1 cm breed dus 0,01 m2.

In eerste instantie gaan we uit van een ideale mortelpaal met een diameter van 16 cm en een perfecte geleiding. We weten dat de bron een straal heeft van 8 cm (diameter 16 cm) en dus een omtrek van 50,24 cm. We weten ook dat de bron is gespecificeerd op 25 W per strekkende meter. Dan is simpel in te zien dat er per cm omtrek en een hoogte van 100 cm er 0,498 W warmte onttrokken wordt. We kunnen op die plek dan berekenen wat de gradiënt is.

dT =P x l/ (Ƴ x A) = 0,498 W x 0,01 m/ (1,5 W/m.K  x 0,01 m2 ) = 0,33 K

Gaan we de straal verdubbelen, dan wordt de omtrek ook het dubbele én de warmtestroomdichtheid halveert dus de gradiënt halveert. En zo kunnen we steeds de afstand vergroten. Nu kunnen we inzien dat het een kwadratische functie is: elke verdubbeling van de afstand vanaf de kern halveert de gradiënt.

Met integraalrekening kunnen we dan uitrekenen wat de gradiënt is over een grote afstand. Voor mij is de integraalrekening een beetje weggezakt en voor de meeste mensen is het ook niet begrijpelijk. We kunnen het ook numeriek oplossen door het sommetje in een Excelsheet te zetten en dat heeft dan de voorkeur.

We gaan er stap voor stap doorheen en beginnen met een bron (mortelpaal) van 16 cm diameter en een lengte van 160 m. Het vermogen van de bron is 25 W per strekkende meter zoals gespecificeerd. We delen de bron op in gelijke, representatieve stukken van 1 meter hoog en een vermogen van 25 W. Radieel verdelen we de bron op de omtrek van de bron in segmenten van 1 cm. De segmenten zijn daar dus 1 cm breed en 1 m hoog. De lengte van elk segment is 1 cm. Als we deze delen maar klein genoeg maken mogen we dit als rechthoekig beschouwen, we verwaarlozen de beperkte afwijking. De berekening wordt daardoor eenvoudiger.

Het is belangrijk dat we ons realiseren dat er in de mortelpaal ook gradiënten zijn die we in eerste instantie negeren. We gaan uit van een ideale paal waarbij de temperatuur overal gelijk is. Later nemen we het stukje in de paal apart onder de loep.

Eerst bepalen we in het dichtstbijzijnde cirkeltje de thermische weerstand van elk segmentje. Elk segmentje is in dit geval 1 cm breed en 100 cm hoog en 1 cm lang.

De omtrek op de mortelpaal is 2 x π x r = 50,24 cm we hebben dus 50,24 segmenten. Willen we de radiale thermische weerstand van de cirkel weten? Alle segmentjes staan parallel dus wordt de thermische weerstand evenredig kleiner.

Rth = l/ (Ƴ x l x 2 x π x r) = 0,01 m/ (1,5 W/m.K  x 1m x 2 x 3,14 x 0,08 m) = 0,01327 K/ W.

Voor de berekening maken we allemaal cirkels waarbij de straal steeds 1 cm groter wordt. Hierdoor wordt de thermische weerstand steeds kleiner. De vorm van de cirkels is een buis. We gebruiken voor de beeldvorming vanaf nu de naam buis.

We weten ook dat de radiale warmtestroom door de cirkel 25 W is en kunnen dan de gradiënt vaststellen als zijnde de wet van Ohm. Gradiënt is warmtestroom maal thermische weerstand.

dT = P x Rth = 25 W x 0,01327 K/ W = 0,332 K

Dichtbij de mortelpaal is de gradiënt dus behoorlijk groot maar we weten dat naarmate de afstand groter is, de gradiënt afneemt. Willen we de totale temperatuursprong weten dan moeten we de radiale gradiënten van de opvolgende buizen bij elkaar optellen.

Dan kan de vraag zijn hoeveel energie daar dan in zit. Elke cirkel van een meter hoog kunnen we beschouwen als een buis met een wanddikte van  1 cm. Dan kunnen we de massa bepalen uit de binnen en buiten diameter en de soortelijke massa. Als we dan ook nog de soortelijke warmte weten, dan weten ook de warmtecapaciteit van de elke buis. We weten dan de opslag per buis en alle buizen van 1 m boven op elkaar is de bron.

Vanwege randeffecten mag de berekening niet te krap zijn. De uitgevoerde berekening in Excel gaat tot een diameter van 5 meter.

 

Eerder noemde ik het effect van gradiënten in de paal die tot nog toe genegeerd zijn. Als we naar de doorsnede van de paal kijken, dan zien we daarin 2 buizen lopen van elk 3,6 cm diameter. Hiervan bestaat ca. 3 mm wanddikte uit tyleen. Effectief is er dus 3 cm buis. We weten ook dat de temperaturen van deze buizen verschillend zijn. Er is namelijk een aan- én een afvoer van het water. Bij een vermogen van 4 kW is het temperatuurverschil ongeveer 5 K. Voor de eenvoud nemen we het gemiddelde van beide buizen dus 2,5 K. We nemen voor de berekening ook  aan dat deze buis daardoor een grotere diameter heeft behorend bij de som van beide doorsnedes. We komen dan uit op een diameter van ca. 4 cm. Een heel verhaal om uit te leggen dat het niet vergeten is.

Nu alles uitgerekend is buiten de mortelpaal door middel van de segmenten, kunnen we de segmenten ook doortrekken naar de binnenkant (interpoleren). We zien dan dat het effect van de gradiënten daar groot is.

Wat we hiervoor berekend hebben is een statische situatie waarbij er oneindig lang 4 kW uit de bron onttrokken wordt dit komt overeen met 96 kWh per dag. Dat is voor een rijtjeshuis zoals van mij, natuurlijk nooit het geval. De gegeven waarden zijn daarom overdreven.

Hoewel er best wel het een en ander op af te dingen is, kunnen we zien dat bij een onttrokken energie van 8000 kWh in een jaar, al deze energie te vinden is binnen een diameter van 90 cm rondom de bron.

De snelheid of beter gezegd, de tijdconstante van de bron, is voor kleine hoeveelheden energie in de buurt van 20 minuten.

Één ding is nog niet besproken en dat is de grondwaterstroming. Welke invloed zal deze hebben? Dan moeten we weer een aanname doen en dat is 2 m/ jaar grondwaterstroming. De diameter van de effectieve bron is 90 cm en dus de doorsnede van de bron overdwars is 90 cm x 160 m = 144 m2. Bij 2 m/ jaar is de flow 2000 mm/ 365d  = 5,48 mm per dag en dat is 0,00548 m x 144 m2 =0,79 m3 per dag.

Nu kunnen we de hoeveelheid energie bepalen hoeveel warmte er per dag aan of afgevoerd wordt (winter of zomer). Bij 4 K verschil is dit

Q = dt x ρ x V x c  = 4 K x 1000 kg/ m3 x 0,79 m3  x  4,2 kJ/ kg = 13272 kJ = 3,69 kWh

Dat betekent dus dat als er maximaal vermogen onttrokken wordt van 96 kWh per dag, er meteen 3,69 kWh weer aangevuld wordt. Bij grotere temperatuurverschillen is dit evenredig groter.

Heb ik in de zomer 700 kWh in de bron gestopt, dan is het in de winter “weggespoeld” en dus zinloos geweest.

 

Conclusie:

Het thermisch profiel is een kwadratische functie. De thermische traagheid wordt bepaald door een oneindig aantal weerstanden met een evenzo groot aantal condensatoren. De weerstanden nemen dan lineair in waarde af (omtrek), de condensatoren kwadratisch in waarde toe (volume). De tijdconstante (het product van beiden) neemt dan lineair toe met de afstand. Daarnaast neemt de totale warmtecapaciteit kwadratisch toe met de afstand. Bij een constant vermogen komt er nooit een evenwicht in de temperaturen maar wel een stabiel gradiënt. Kort en goed, als we een normaal verbruik hebben, is de actieve afmeting van de bron beperkt tot ongeveer tot een diameter van 1 meter (straal 50 cm). Heb ik in de zomer 700 kWh in de bron gestopt, dan is het in de winter “weggespoeld” en dus zinloos geweest.

Wél moet opgemerkt worden dat deze getallen voor nat zand/klei gelden. Bij droge grond is dit een factor 10 slechter. De warmtegeleiding van droog zand is geen 1,5 W/ m.K maar 0,15 W/ m.K. Het gevolg is dat in het westen van het land met veel vochtige grond, de mortelpalen dichter bij elkaar kunnen staan (tot zelfs 1 m) maar in het oosten met droge grond moet het 10 m zijn. Warmteopslag in droge grond is wél zinvol, de warmte “spoelt” immers niet weg. Bij warmteopslag verdwijnt het voordeel van de koelmogelijkheid van een huis.

Onderstaande grafiek laat de gradiënt zien per cm vanaf de kern van de mortelpaal.

 

In onderstaande grafiek is de temperatuur te zien als functie van de straal. Hierbij is het vermogen 4 kW continu. Realiseer wel dat de massa van 8279 ton is met een warmtecapaciteit van 216000 kWh. (Voor mijn huis voldoende voor 27 jaar.)

Een vraag die vaak gesteld wordt is hebben we last van interferentie of maken we de warmte op. Welnu, laten we dat uitrekenen.

Als we een bron hebben met een diepte van 100 m en een oppervlak van het huis van 300 m2 , wat een aardig getal is voor een gemiddelde bescheiden woning (met straat enz.), dan praten we over bron met een beschikbaar volume van 30.000 m3 met een warmtecapaciteit van 3 MJ/ m3.K en komen we uit op 90.000 MJ/K = 25.000 kWh/ K. Voor mijn woning heb ik 5700 kWh uit de grond gehaald de afgelopen winter. hieruit volgt dat er genoeg voor 4,4 jaar warmte in zit (dT  = 1 K)  Op basis van dit getal zouden we kunnen zeggen dat in een grote wijk van huizen met een oppervlak van gemiddeld 300 m2, elke 4,4 jaar de temperatuur 1 graad zakt als er niets zou gebeuren. 

Maar het huis staat niet in de schaduw:

Tegelijk straalt de zon met ca. 1000 kWh/ m2 per jaar. voor het gemak nemen we aan dat 1/3 daarvan op het huis terecht komt, de rest op de grond / in de grond waarvan weer de helft gereflecteerd wordt. Per saldo komt er 100 m2 x 1000 kWh/ m2 = 100.000 kWh in de grond terecht. Dat is 17 keer zoveel als ik zelf met mijn huis op maak. Het punt is dat de warmte ook weer aangevuld wordt, onder andere van bovenaf.

Dan is er een geleiding in radiale richting zoals boven berekend.

En tenslotte de grondwaterstroming die ook al benoemd is. Bij mij is dat 2 m/ jaar en zorgt voor warmte verplaatsing van 2,56 kWh (3,69 kWh bij een doorsnede van 144 m2 zie boven) per dag = 900 kWh per jaar. (90 cm breed, 100 m hoog)

Het punt is dat het voor mij de vraag is of de afname en toevoer van warmte expres in balans gemaakt moet worden, is het de moeite waard? Zelf heb ik geen effect gezien van de opslag op wat langere termijn. Wel op een periode van een a twee weken.

Interferentie:

Als we de temperatuur van de bron meten die de warmtepomp in gaat, is dit gemakshalve de gemiddelde temperatuur van de gehele buislengte die in de grond zit.

De bron is aan de bovenkant (behalve de bovenste 1,5 m , zie boek) ongeveer het jaargemiddelde van de atmosfeer.

Naar beneden gaat de temperatuur omhoog met ca. 3 graden per 100 m en dat mag je dan niet verwaarlozen.

Deze opgeslagen energie wordt uitgeput omdat de warmte uit de kern van de aarde slechts ca 0,063 W/m2 is. Als de bron op diepte eenmaal afgekoeld is, wordt het nauwelijks meer aangevuld. Die 0,063 W/m2 is immers lang niet voldoende om de onttrekking aan te vullen, behalve als er op grote diepte ook een grondwaterstroming zou zijn. Het is echter aannemelijk dat het leeuwendeel van de grondwaterstroming  aan de bovenkant plaats vindt.

Veel informatie over grondwaterstroming is te vinden op https://www.grondwatertools.nl/kaarten. Ook is hier het verschil te zien tussen grondwaterstroming in winter en zomer. Zie als voorbeeld onderstaand plaatje van deze website.

Als er meerdere boringen zijn voor woningen in een wijk, zou men het afkoelen kunnen interpreteren als een interferentie. Volgens bovenstaande is het gewoon de uitputting die ook gebeurt bij diepe geothermie. De bron wordt gewoon iets kouder als gevolg van het onttrekken van warmte uit die bron en het niet aanvullen. Het dieper boren voor een volgende bron is dus een tijdelijke oplossing. Want dan gebeurt daarna hetzelfde. Dat lijkt dan op interferentie maar de warmte is gewoon op op die diepte. Dan is de volgende vraag hoe erg dit is. Weliswaar wordt de warmte op grote diepte niet aangevuld, tenzij er regeneratie wordt toegepast, Maar de aanvulling komt van boven door de zon. Zoals ik boven beschreven heb is de geabsorbeerde straling van de zon, 17 keer zoveel als ik uit de bron opneem en het tweede effect is de warmte uitwisseling met de lucht en regen.

Kortom, ik heb geloof niet zo gauw in interferentie. Bij goed warmte geleidende grond zoals in mijn omgeving (West-Friesland) is de onttrokken warmte hoofdzakelijk die van de ingestraalde energie door de zon. De eerste paar graden daling van temperatuur is, zoals boven uitgelegd, het gevolg van het uitputten van de opgeslagen warmte in de grond die niet aangevuld wordt. Dit uitputten zou een jaar of 3 a 4 kunnen duren.

Bij slechte warmtegeleiding van de grond, zoals bv. in Limburg, wordt het interferentie gebied wél groter. Dat zou wel tot 10 m kunnen oplopen.